[2015년 대화고]

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[1학년 2학기 기말]

[eqn: log_2 3 cdotlog_3 4]의 값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다섯 개의 자연수 [eqn: 1], [eqn: a], [eqn: 7], [eqn: b], [eqn: c]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: a+b-c]의 값은?

⑤

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에서 [eqn: a_2 =1], [eqn: a_5 =2]일 때, [eqn: a_8]의 값은?

④

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: log 200 - log 30 -log5]의 값은? (단, [eqn: log2=0.3010], [eqn: log3=0.4771]로 계산)

③

① [eqn: -0.8751]	② [eqn: -0.4771]	③ [eqn: 0.1249]

④ [eqn: 0.5229]	⑤ [eqn: 0.7781]

[eqn: sum _{ k=1} ^{10 }(6k^2 -11)]의 값은?

④

① [eqn: 220]	② [eqn: 440]	③ [eqn: 1100]

④ [eqn: 2200]	⑤ [eqn: 2420]

첫째항이 [eqn: 100], 공차가 [eqn: -2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여
[eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} + CDOTS +a _{99}]의 값은?

③

① [eqn: 98]	② [eqn: 99]	③ [eqn: 100]

④ [eqn: 198]	⑤ [eqn: 200]

[eqn: 3 ^{{1} over {3}} TIMES root {3} of {3 ^{4}} ÷ root {3} of {3 ^{2}}]의 값은?

③

① [eqn: 1 over 9]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 27]

[eqn: 2 ^{a} =3], [eqn: 2 ^{b} =6]일 때, [eqn: LEFT ( 1over2 RIGHT ) ^ 2a-b]의 값은?

②

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 5 over 6]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 7 over 6]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =17], [eqn: a _{n+1} = {2n-1} over {2n+1} a _{n} (n=1,```2,```3,``` CDOTS )]으로 정의될 때, [eqn: a_8 = q over p]이다. [eqn: p+q]값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

④

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 [eqn: {cases{a _{1} =5,```a _{2} =1,```a _{3} =-3,```a _{4} =-1#a _{n+4} =2a _{n} (n=1,```2,```3,``` CDOTS )}}]일 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{ 16} a_k]의
값은?

①

① [eqn: 30]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 34]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: log _{2} (a-b)=2], [eqn: log _{2} a+log _{2} b=1]일 때,
[eqn: a^3 -b^3]의 값은? (단, [eqn: a>b]이다.)

④

① [eqn: 24]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 88]	⑤ [eqn: 100]

세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: abc=9], [eqn: a^x =b^y =c^z =81], [eqn: xyz=2]을 만족할 때, [eqn: xy+yz+zx]의 값은?

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3 over 2]	⑤ [eqn: 2]

다음은 [eqn: n GEQ 4]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3n-1 <2^n]이 성립함을 증명하는 과정이다.

위의 증명에서 (가)에 들어갈 수를 [eqn: a], (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 할 때, [eqn: a TIMES f(3) TIMES g(0)]의 값은?

<증명>

[eqn: 3n-1<2 ^{n}] [eqn: cdots] ㉠

(ⅰ) [eqn: n=4]일 때, [eqn: 3cdot4-1<2 ^{4}]이므로 ㉠이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: 3k-1<2 ^{k}] [eqn: cdots] ㉡

양변에 [eqn: BOX{`````(가)`````}]를 곱하면

[eqn: BOX{`````(나)`````} <2 ^{k+1}] [eqn: cdots] ㉢

이때 [eqn: BOX{`````(나)`````} -(3k+2)= BOX{`````(다)`````}]

[eqn: k GEQ 4]인 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: BOX{`````(다)`````} >0]

따라서 부등식 ㉠은 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 부등식 ㉠은 [eqn: n GEQ 4]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

①

① [eqn: -128]	② [eqn: -64]	③ [eqn: -32]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 128]

등비수열 [eqn: 2,```6,```18,``` CDOTS]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 할 때, [eqn: S_n +1 >200]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은?

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

좌표평면 위의 점 [eqn: (a,```b)]가 직선 [eqn: y=-4x+8] 위를 움직일 때 [eqn: 4 ^{a} + root {4} of {4 ^{b}}]의 최솟값은?

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: sum _{ k=1} ^{n }a_k =S_n]이라고 할 때, 항상 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

②

ㄱ. [eqn: sum _{ k=1} ^{n }10a_k =10S_n]	ㄴ. [eqn: sum _{ k=1} ^{n }a_2k =S_2n]

ㄷ. [eqn: sum _{ k=1} ^{n }1over a_k = 1over S_n]	ㄹ. [eqn: sum _{ k=1} ^{n }a _k ^2 =S_2n]

ㅁ. [eqn: sum _{ k=1} ^{n }(a_k -1) =S_n -n]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㅁ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄷ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㅁ

지진의 에너지는 지진의 규모에 따라 달라지며, 지진의 규모 [eqn: M]과 지진에 의해 발생되는 지진의 에너지 [eqn: E] 사이에는 다음이 성립한다.
[eqn: log E =11.4+1.5M]
도시 [eqn: P]에서 발생한 지진의 에너지는 도시 [eqn: Q]에서 발생한 지진의 에너지의 [eqn: 1000]배이고, 도시 [eqn: P]에서 발생한 지진의 규모는 도시 [eqn: Q]에서 발생한 지진의 규모의 [eqn: 4 over 3]배이다. 도시 [eqn: P]에서 발생한 지진의 규모는?

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -4x+(2n-1)(2n+1)=0]의 두 근
[eqn: alpha _{n}], [eqn: beta _{n}]에 대하여 [eqn: sum _{ n=1} ^{20 } LEFT ( 1 over alpha_n + 1 over beta_n RIGHT )]의 값은?

②

① [eqn: 40 over 41]	② [eqn: 80 over 41]	③ [eqn: 160 over 41]

④ [eqn: 20 over 21]	⑤ [eqn: 40 over 21]

삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변 [eqn: rmBC], [eqn: rmCA], [eqn: rmAB]의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라고 할 때, [eqn: log _a+b+c 3 +log_a+b+c (ab+bc+ca)=2]가 성립한다. 삼각형 [eqn: rmABC]는 어떤 삼각형인가? (단, [eqn: a+b+c !=1]이다.)

①

① 정삼각형

② 빗변의 길이가 [eqn: b]인 직각삼각형

③ 빗변의 길이가 [eqn: c]인 직각삼각형

④ 가장 긴 변의 길이가 [eqn: a]인 둔각삼각형

⑤ 가장 긴 변의 길이가 [eqn: b]인 둔각삼각형

어떤 물질의 부패지수 [eqn: P]와 일평균 습도 [eqn: H(%)], 일평균 기온 [eqn: t( CENTIGRADE)] 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.
[eqn: P= { H-60} over {20 } TIMES (1.05)^t]
일평균 습도가 [eqn: 70%], 일평균 기온이 [eqn: 12 CENTIGRADE]인 날에 이 물질의 부패지수를 [eqn: P_1]이라 하자. 일평균 습도가 [eqn: 80%], 일평균 기온이 [eqn: x CENTIGRADE]인 날에 이 물질의 부패지수가 [eqn: P_1]의 [eqn: 6]배일 때, [eqn: x]의 값은? (단, [eqn: 1.05 ^{14} =2], [eqn: 1.05 ^{22} =3]으로 계산한다.)

⑤

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

서술형

첫째항이 [eqn: 2- sqrt { 2}]이고 공비가 [eqn: 1 over root 2]인 등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: b_n]이라고 하자. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: {rmP}_n (a_n ,```b_n )], [eqn: {rmQ}_n (a_n ,```0)]에 대하여 [eqn: TRIANGLE {rmOP} _{n} {rmQ} _{n}]의 넓이를 [eqn: S_n]이라고 할 때, [eqn: sqrt {2} (2+ sqrt {2} )S _{6}]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: {7} over {16}]

전체집합 [eqn: U= LEFT { `(x,```y)|``x,```y는```실수 RIGHT }]에 대하여 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]이 다음과 같다.
[eqn: p:(x,```y)는```log _{x ^{2} +y ^{2}} 2가```정의되도록```한다.]
[eqn: q:(x,```y)는```log _{2} xy가```정의되도록```한다.]
[eqn: r:y-2=m(x+1)]
세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]이라고 할 때, [eqn: n(P ^{c} SMALLINTER Q ^{c} SMALLINTER R)=3]을 만족하는 [eqn: m]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: -2]

[2015년 대화고]

[1학년 2학기 기말]

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